三阶行列式示例
2
-3
1
4
0
5
-1
2
3
det(A) = 2 × A11 +
(-3) × A12 +
1 × A13
最终结果: det(A) = 2×(-10) + (-3)×17 + 1×8 = -20 - 51 + 8 = -63
展开步骤
步骤 1: 选择第一行元素
三阶行列式按第一行展开，使用公式：
det(A) = a₁₁·A₁₁ + a₁₂·A₁₂ + a₁₃·A₁₃
其中 A₁₁, A₁₂, A₁₃ 是元素对应的代数余子式。
对于我们的行列式：
det(A) = 2 × A₁₁ + (-3) × A₁₂ + 1 × A₁₃
步骤 2: 计算 a₁₁ 的代数余子式 A₁₁
A₁₁ = (-1)1+1 · M₁₁ = M₁₁
M₁₁ 是去掉第1行第1列后的二阶行列式：
M₁₁ = det( [0, 5], [2, 3] ) = (0×3) - (5×2) = 0 - 10 = -10
所以 A₁₁ = -10
步骤 3: 计算 a₁₂ 的代数余子式 A₁₂
A₁₂ = (-1)1+2 · M₁₂ = -M₁₂
M₁₂ 是去掉第1行第2列后的二阶行列式：
M₁₂ = det( [4, 5], [-1, 3] ) = (4×3) - (5×(-1)) = 12 - (-5) = 17
所以 A₁₂ = -17
步骤 4: 计算 a₁₃ 的代数余子式 A₁₃
A₁₃ = (-1)1+3 · M₁₃ = M₁₃
M₁₃ 是去掉第1行第3列后的二阶行列式：
M₁₃ = det( [4, 0], [-1, 2] ) = (4×2) - (0×(-1)) = 8 - 0 = 8
所以 A₁₃ = 8
步骤 5: 代入公式计算结果
将代数余子式代入原公式：
det(A) = 2 × (-10) + (-3) × (-17) + 1 × 8
det(A) = -20 + 51 + 8 = 39
这是正确的结果！