行列式“裂项”性质分步演示

辽宁石油化工大学理学院于晶贤设计

原理说明：行列式的裂项性质（单列可加性）—— 如果行列式某一列的每一个元素都可以写成两个数之和，那么这个行列式可以拆分为两个行列式之和。
即：若第 j 列为 C_j = A_j + B_j，则 det(…, A_j+B_j, …) = det(…, A_j, …) + det(…, B_j, …)。

初始行列式

ax+by	ay+bz	az+bx
ay+bz	az+bx	ax+by
az+bx	ax+by	ay+bz

第一步：裂开第一列

第一列 C₁ = (ax+by, ay+bz, az+bx) 可以拆成两个列向量之和：
(ax, ay, az) ＋ (by, bz, bx)。根据裂项性质，D 被拆分为两个行列式 D₁ 与 D₂ 之和。

D（第一列待裂开）

ax+by	ay+bz	az+bx
ay+bz	az+bx	ax+by
az+bx	ax+by	ay+bz

第二步：裂开第二列

第二列 C₂ = (ay+bz, az+bx, ax+by) 可以拆成：
(ay, az, ax) ＋ (bz, bx, by)。
D₁ 与 D₂ 各自再分裂为两个行列式，一共得到 4 个行列式。

D₁（第二列待裂开）

ax	ay+bz	az+bx
ay	az+bx	ax+by
az	ax+by	ay+bz

＋

D₂（第二列待裂开）

by	ay+bz	az+bx
bz	az+bx	ax+by
bx	ax+by	ay+bz

第三步：裂开第三列

第三列 C₃ = (az+bx, ax+by, ay+bz) 可以拆成：
(az, ax, ay) ＋ (bx, by, bz)。
上面 4 个行列式各自再拆成 2 个，最终共得到 8 个行列式。

D₁₁

ax	ay	az+bx
ay	az	ax+by
az	ax	ay+bz

D₁₂

ax	bz	az+bx
ay	bx	ax+by
az	by	ay+bz

D₂₁

by	ay	az+bx
bz	az	ax+by
bx	ax	ay+bz

D₂₂

by	bz	az+bx
bz	bx	ax+by
bx	by	ay+bz

结论：化简 8 个行列式

利用行列式的性质（提公因子、两列相同则值为 0），可以对上述 8 个行列式进行化简：

含交叉项（a²b 或 ab²）的 6 个行列式，提取公因子后都出现两列完全相同的情形，因此其值均为 0。
只有 D₁₁₁ 与 D₂₂₂ 保留了下来。