四阶行列式
a₁₁
a₁₂
a₁₃
a₁₄
a₂₁
a₂₂
a₂₃
a₂₄
a₃₁
a₃₂
a₃₃
a₃₄
a₄₁
a₄₂
a₄₃
a₄₄
det(A) = a₁₁·A₁₁ +
a₁₂·A₁₂ +
a₁₃·A₁₃ +
a₁₄·A₁₄
展开步骤
📌 步骤 0: 选择第一行元素
四阶行列式按第一行展开，使用公式：
det(A) = a₁₁·A₁₁ + a₁₂·A₁₂ + a₁₃·A₁₃ + a₁₄·A₁₄
其中 A₁ⱼ 是元素 a₁ⱼ 对应的代数余子式。
💡 点击「下一步」开始逐项展开。
项 1 计算 a₁₁ 的代数余子式
A₁₁ = (-1)1+1 · M₁₁ = M₁₁
M₁₁ 是去掉第1行第1列后的三阶行列式：
M₁₁ = a₂₂·a₃₃·a₄₄ + a₂₃·a₃₄·a₄₂ + a₂₄·a₃₂·a₄₃
− a₂₄·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₂·a₄₄
− a₂₄·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₂·a₄₄
🔴 红色高亮：a₁₁ 及其代数余子式中的元素
项 2 计算 a₁₂ 的代数余子式
A₁₂ = (-1)1+2 · M₁₂ = −M₁₂
M₁₂ 是去掉第1行第2列后的三阶行列式：
M₁₂ = a₂₁·a₃₃·a₄₄ + a₂₃·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₃
− a₂₄·a₃₃·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₁·a₄₄
− a₂₄·a₃₃·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₁·a₄₄
🟣 紫色高亮：a₁₂ 及其代数余子式中的元素
项 3 计算 a₁₃ 的代数余子式
A₁₃ = (-1)1+3 · M₁₃ = M₁₃
M₁₃ 是去掉第1行第3列后的三阶行列式：
M₁₃ = a₂₁·a₃₂·a₄₄ + a₂₂·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₂
− a₂₄·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₄
− a₂₄·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₄
🟠 橙色高亮：a₁₃ 及其代数余子式中的元素
项 4 计算 a₁₄ 的代数余子式
A₁₄ = (-1)1+4 · M₁₄ = −M₁₄
M₁₄ 是去掉第1行第4列后的三阶行列式：
M₁₄ = a₂₁·a₃₂·a₄₃ + a₂₂·a₃₃·a₄₁ + a₂₃·a₃₁·a₄₂
− a₂₃·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₃
− a₂₃·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₃
🔵 蓝色高亮：a₁₄ 及其代数余子式中的元素
📋 步骤 5: 完整展开式
将四个代数余子式代入原公式：
det(A) = a₁₁·(a₂₂·a₃₃·a₄₄ + a₂₃·a₃₄·a₄₂ + a₂₄·a₃₂·a₄₃ − a₂₄·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₂·a₄₄)
− a₁₂·(a₂₁·a₃₃·a₄₄ + a₂₃·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₃ − a₂₄·a₃₃·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₁·a₄₄)
+ a₁₃·(a₂₁·a₃₂·a₄₄ + a₂₂·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₂ − a₂₄·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₄)
− a₁₄·(a₂₁·a₃₂·a₄₃ + a₂₂·a₃₃·a₄₁ + a₂₃·a₃₁·a₄₂ − a₂₃·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₃)
− a₁₂·(a₂₁·a₃₃·a₄₄ + a₂₃·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₃ − a₂₄·a₃₃·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₃ − a₂₃·a₃₁·a₄₄)
+ a₁₃·(a₂₁·a₃₂·a₄₄ + a₂₂·a₃₄·a₄₁ + a₂₄·a₃₁·a₄₂ − a₂₄·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₄·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₄)
− a₁₄·(a₂₁·a₃₂·a₄₃ + a₂₂·a₃₃·a₄₁ + a₂₃·a₃₁·a₄₂ − a₂₃·a₃₂·a₄₁ − a₂₁·a₃₃·a₄₂ − a₂₂·a₃₁·a₄₃)
✅ 展开完成！共 4 项，每项包含 6 个乘积项。