四阶行列式示例
1a₁₁
2a₁₂
3a₁₃
1a₁₄
2a₂₁
1a₂₂
1a₂₃
3a₂₄
3a₃₁
1a₃₂
2a₃₃
1a₃₄
1a₄₁
3a₄₂
1a₄₃
2a₄₄
det(A) = 1·A₁₁ + 2·A₁₂ + 3·A₁₃ + 1·A₁₄
最终结果: det(A) = 35
1·(-11) + 2·(-4) + 3·17 + 1·3 = -11 - 8 + 51 + 3 = 35
1
2
3
4
5
6
📖 展开步骤
步骤 1：按第一行展开公式
四阶行列式按第一行展开，使用公式：
det(A) = a₁₁·A₁₁ + a₁₂·A₁₂ + a₁₃·A₁₃ + a₁₄·A₁₄
其中 A₁ⱼ 是元素 a₁ⱼ 对应的代数余子式。
对于我们的行列式：
det(A) = 1·A₁₁ + 2·A₁₂ + 3·A₁₃ + 1·A₁₄
👆 矩阵中高亮显示了第一行元素
步骤 2：计算 A₁₁（a₁₁ 的代数余子式）
A₁₁ = (-1)1+1 · M₁₁ = M₁₁
M₁₁ 是去掉第1行第1列后的三阶行列式：
M₁₁ = det
113
121
312
= 1·(2·2 − 1·1) − 1·(1·2 − 1·3) + 3·(1·1 − 2·3)
= 1·(4 − 1) − 1·(2 − 3) + 3·(1 − 6)
= 3 − (−1) + (−15) = −11
所以 A₁₁ = −11
步骤 3：计算 A₁₂（a₁₂ 的代数余子式）
A₁₂ = (-1)1+2 · M₁₂ = −M₁₂
M₁₂ 是去掉第1行第2列后的三阶行列式：
M₁₂ = det
213
321
112
= 2·(2·2 − 1·1) − 1·(3·2 − 1·1) + 3·(3·1 − 2·1)
= 2·(4 − 1) − 1·(6 − 1) + 3·(3 − 2)
= 6 − 5 + 3 = 4
所以 A₁₂ = −4
步骤 4：计算 A₁₃（a₁₃ 的代数余子式）
A₁₃ = (-1)1+3 · M₁₃ = M₁₃
M₁₃ 是去掉第1行第3列后的三阶行列式：
M₁₃ = det
213
311
132
= 2·(1·2 − 1·3) − 1·(3·2 − 1·1) + 3·(3·3 − 1·1)
= 2·(2 − 3) − 1·(6 − 1) + 3·(9 − 1)
= −2 − 5 + 24 = 17
所以 A₁₃ = 17
步骤 5：计算 A₁₄（a₁₄ 的代数余子式）
A₁₄ = (-1)1+4 · M₁₄ = −M₁₄
M₁₄ 是去掉第1行第4列后的三阶行列式：
M₁₄ = det
211
312
131
= 2·(1·1 − 2·3) − 1·(3·1 − 2·1) + 1·(3·3 − 1·1)
= 2·(1 − 6) − 1·(3 − 2) + 1·(9 − 1)
= −10 − 1 + 8 = −3
所以 A₁₄ = −(−3) = 3
步骤 6：代入公式 得最终结果
将四个代数余子式代入展开公式：
det(A) = 1·(−11) + 2·(−4) + 3·17 + 1·3
= −11 − 8 + 51 + 3 = 35
✅ 行列式 det(A) = 35